Matriks Balikan (Invers)

JIka A dan B matriks bujur sangkar sedemikian rupa sehingga A B = B A = I , maka B disebut balikan atau invers dari A dan dapat dituliskan  ( B sama dengan invers A ). Matriks B juga mempunyai invers yaitu A maka dapat dituliskan . Jika tidak ditemukan matriks B, maka A dikatakan matriks tunggal (singular). Jika matriks B dan C adalah invers dari A maka B = C.
Matriks A =  dapat di-invers apabila ad - bc ≠ 0
Dengan Rumus =

Apabila A dan B adalah matriks seordo dan memiliki balikan maka AB dapat di-invers dan

Contoh 1:
Matriks
A =  dan B =
AB =  =  = I (matriks identitas)
BA =  =  = I (matriks identitas)
Maka dapat dituliskan bahwa  (B Merupakan invers dari A)

Contoh 2:
Matriks
A =  dan B =
AB =  =
BA =  =
Karena AB ≠ BA ≠ I maka matriks A dan matriks B disebut matriks tunggal.

Contoh 3:
Matriks
A =
Tentukan Nilai dari A-1
Jawab:


Contoh 4:
Matriks
A = , B = , AB =
Dengan menggunakan rumus, maka didapatkan
, ,
Maka
 =
Ini membuktikan bahwa
[sunting]Transpose Matriks
Yang dimaksud dengan Transpose dari suatu matriks adalah mengubah komponen-komponen dalam matriks, dari yang baris menjadi kolom, dan yang kolom di ubah menjadi baris.
Contoh:
Matriks
A =  ditranspose menjadi AT =

Matriks
B =  ditranspose menjadi BT =

Rumus-rumus operasi Transpose sebagai berikut:
1.
2.  dan
3.  dimana k adalah skalar
4.
[sunting]Matriks Diagonal, Segitiga, dan Matriks Simetris
[sunting]Matriks Diagonal
Sebuah matriks bujursangkar yang unsur-unsurnya berada di garis diagonal utama dari matriks bukan nol dan unsur lainnya adalah nol disebut dengan matriks diagonal. Contoh :



secara umum matriks n x n bisa ditulis sebagai


Matriks diagonal dapat dibalik dengan menggunakan rumus berikut :
=

jika D adalah matriks diagonal dan k adalah angka yang positif maka
=
Contoh :
A=
maka
=
[sunting]Matriks Segitiga
Matriks segitiga adalah matriks persegi yang di bawah atau di atas garis diagonal utama nol. Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang di bawah garis diagonal utama nol. Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang di atas garis diagonal utama nol.
Matriks segitiga

Matriks segitiga bawah

Teorema
Transpos pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga atas, dan transpose pada matriks segitiga atas adalah segitiga bawah.
Produk pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah, dan produk pada matriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas.
Matriks segitiga bisa di-inverse jika hanya jika diagonalnya tidak ada yang nol.
Inverse pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah, dan inverse pada matriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas.
Contoh :
Matriks segitiga yang bisa di invers
A =
Inversnya adalah
=
Matriks yang tidak bisa di invers
B =
[sunting]Matriks Simetris
Matriks kotak A disebut simetris jika
Contoh matriks simetris


Teorema
Jika A dan B adalah matriks simetris dengan ukuran yang sama, dan jika k adalah skalar maka
 adalah simetris A + B dan A - B adalah simetris kA adalah simetris

Jika A adalah matriks simetris yang bisa di inverse, maka  adalah matriks simetris.
Asumsikan bahwa A adalah matriks simetris dan bisa di inverse, bahwa  maka :

Yang mana membuktikan bahwa  adalah simetris.

Produk  dan
 dan
Contoh
A adalah matriks 2 X 3
A =
lalu
 =  =

 =  =
Jika A adalah Matriks yang bisa di inverse, maka  dan  juga bisa di inverse